איך לתרגל שאלות צורה ריבועית באלגברה לינארית 2?

באתר prepd תמצאו שאלות צורה ריבועית באלגברה לינארית 2 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות צורה ריבועית יש באלגברה לינארית 2?

באתר prepd יש עשרות שאלות צורה ריבועית באלגברה לינארית 2 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על צורה ריבועית לקראת מבחן באלגברה לינארית 2?

צורה ריבועית הוא אחד הנושאים המרכזיים באלגברה לינארית 2. תרגול שאלות ממבחנים בנושא צורה ריבועית הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אלגברה לינארית 2 - צורה ריבועית

טרנספורמציות לינאריות, מרחבי מכפלה פנימית ועוד

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של צורה ביליניארית

רמת קושי:

תהי

A = (x_{1} x_{3} x_{2} x_{4})

מטריצה ממשית

2 \times 2

. נגדיר:

q (A) = det (A^{t} + A), p (A) = det (A - A^{t})

(ב) מצאו מטריצות

B_{1}, B_{2}

כך ש-

q (x) = [x]_{E}^{t} B_{1} [x]_{E}

ו-

p (x) = [x]_{E}^{t} B_{2} [x]_{E}

כאשר

E

הוא הבסיס הסטנדרטי של

R^{4}

ו-

x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

צורה ריבועיתמטריצה סימטריתמטריצת ייצוג

תהי

A = (x_{1} x_{3} x_{2} x_{4})

מטריצה ממשית

2 \times 2

. נגדיר:

q (A) = det (A^{t} + A), p (A) = det (A - A^{t})

(א) חשבו את

q (A)

ו-

p (A)

כפונקציות של

x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

צורה ריבועיתדטרמיננטהמטריצה סימטרית

נתונה

A = 2 - 1 0 - 1 1 - 1 0 - 1 2

. נגדיר פונקציה

f : R^{3} \to R

על ידי

f (x) = ⟨ A x, x ⟩

, לכל וקטור

x = x_{1} x_{2} x_{3} \in R^{3}

.

מצאו את הפולינום האופייני של

A

. האם

f (x) \geq 0

לכל וקטור

x \in R^{3}

? נמקו!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה83 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

פולינום אופייניערכים עצמייםצורה ריבועיתאופרטור חיובימטריצה סימטרית

תהי

A \in M_{3 \times 3} (R)

מטריצה סימטרית. נגדיר צורה ריבועית

q : R^{3} \to R

על ידי

q (x) = x^{t} A x

. נתון כי

q

חיובית (כלומר

q (x) > 0

לכל

x \neq = 0

).
(א) הוכיחו כי

A

חיובית באמצעות המינורים המובילים (קריטריון סילבסטר). נתון

m > 0

; הוכיחו כי

Δ_{1} > 0

Δ_{2} > 0

Δ_{3} > 0

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

צורה ריבועיתאופרטור חיובימטריצה סימטרית

תהי

A = (x_{1} x_{3} x_{2} x_{4})

מטריצה ממשית

2 \times 2

. נגדיר:

q (A) = det (A^{t} + A), p (A) = det (A - A^{t})

(ג) עבור

q

ו-

p

מהסעיפים הקודמים: האם

q

או

p

מהוות תבנית ריבועית חיובית? מצאו את הערכים

α

ו-

β

עבורם מתקיים

[α q]_{E} = B_{1}

ו-

[β p]_{E} = B_{2}

(או ערכים מתאימים).

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

צורה ריבועיתמטריצה סימטריתלכסון

תהי

A \in M_{3 \times 3} (R)

מטריצה סימטרית חיובית. נניח שהצורה הריבועית

q (x) = x^{t} A x

מייצגת את הביטוי:

q (x) = x_{1} y_{1} + h x_{2} y_{2} - x_{3}^{2} y_{3} + x_{3}^{2} = x^{t} y

עבור ערכים מסוימים.
(ב) מצאו לכסון אורתוגונלי: מטריצה אורתוגונלית

U

כך ש-

U^{t} A U = diag (d_{1}, d_{2}, d_{3})

, ומצאו את הצורה הקנונית של

q

בבסיס החדש.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

לכסון אורתוגונליצורה ריבועיתמטריצה סימטריתבסיס אורתונורמלי

תהי

A \in M_{3 \times 3} (R)

מטריצה סימטרית ותהי

q (x) = x^{t} A x

צורה ריבועית. הפולינום האופייני של

A

הוא

p_{A} (x) = x (x - 4) (x - 8)

. נתון כי

W = {x \in R^{3} ∣ q (x) = 0}

.
(ג) מצאו את

W

ואת מימדו.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

צורה ריבועיתמרחב עצמילכסון אורתוגונלימימד

נגדיר פונקציה

p : R^{3} \to R

על ידי

p (x) = 2 x_{1}^{2} + 4 x_{1} x_{2} + 5 x_{2}^{2} + x_{3}^{2}

, לכל וקטור

x = x_{1} x_{2} x_{3} \in R^{3}

.

מצאו מטריצה סימטרית

A

כך ש-

p (x) = x^{t} A x

, לכל וקטור

x \in R^{3}

. האם הפונקציה

F : R^{3} \times R^{3} \to R

המוגדרת על ידי

F (x, y) = \frac{1}{2} (p (x + y) - p (x) - p (y))

מהווה מכפלה פנימית במרחב

R^{3}

? נמקו!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה83 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

צורה ריבועיתצורה ביליניאריתמכפלה פנימיתמטריצה סימטריתאופרטור חיובי

נתונה

A = 2 - 1 0 - 1 1 - 1 0 - 1 2

. נגדיר פונקציה

f : R^{3} \to R

על ידי

f (x) = ⟨ A x, x ⟩

, לכל וקטור

x = x_{1} x_{2} x_{3} \in R^{3}

.

האם

W = {x \in R^{3} : f (x) = 0}

מהווה תת-מרחב וקטורי של

R^{3}

? אם כן, מצאו בסיס של

W

. נמקו!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה83 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

צורה ריבועיתערכים עצמייםמרחב עצמיתת-מרחבבסיס

יהיו

a, b \in R

. נגדיר מטריצה

A = (a_{ij})_{1 \leq i, j \leq 2} \in M_{2 \times 2}^{R}

על ידי:

a_{ij} = {a, b, i = j i \neq = j

נגדיר פונקציה

q : R^{2} \to R

על ידי

q (v) = v^{T} A v = (x_{1}, x_{2}) \cdot A \cdot (x _{2} x _{1})

, לכל וקטור

v = (x _{2} x _{1}) \in R^{2}

.

א. מצאו את הפולינום המינימלי של

A

. הוכיחו ש-

q (v) = ⟨ A v, v ⟩

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה87 · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

צורה ריבועיתפולינום מינימלימכפלה פנימיתמטריצה סימטריתהוכחה

שאלות צורה ריבועית באלגברה לינארית 2 עם פתרונות

שאלות תרגול באלגברה לינארית 2 בנושא צורה ריבועית ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא צורה ריבועית.