תהי A = ( x 1 x 3 x 2 x 4 ) מטריצה ממשית 2 × 2 . נגדיר: q ( A ) = det ( A t + A ) , p ( A ) = det ( A − A t ) (ב) מצאו מטריצות B 1 , B 2 כך ש- q ( x ) = [ x ] E t B 1 [ x ] E ו- p ( x ) = [ x ] E t B 2 [ x ] E כאשר E הוא הבסיס הסטנדרטי של R 4 ו- x = ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) .
האוניברסיטה הפתוחה מבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א
צורה ריבועית מטריצה סימטרית מטריצת ייצוג
נתבונן במ"פ הבאה על R 2 : ⟨ ( y 1 x 1 ) , ( y 2 x 2 ) ⟩ = 2 x 1 x 2 + 4 y 1 y 2 נתונה הע"ל T : R 2 → R 2 הבאה: T ( y x ) = ( 2 x − y 3 x + 4 y ) . מצאו במפורש את T ∗ .
אוניברסיטת בר-אילן מועד א · 2025 · סמסטר א
אופרטור צמוד מכפלה פנימית מרחב מכפלה פנימית העתקה לינארית מטריצת ייצוג
נתונה הע"ל T : R 3 → R 3 על ידי המטריצה המייצגת הבאה ( S הינו הבסיס הסטנדרטי של R 3 ): [ T ] S S = 1 0 1 1 2 0 1 0 1 א. (7 נק') מצאו בסיס ומימד ל- ( ker T ) ⊥ (למי המ"פ הסטנדרטית). הוכיחו תשובתכם. ב. (6 נק') נגדיר T [ U ] := { T ( u ) ∣ u ∈ U } כאשר U := sp ⎩ ⎨ ⎧ 1 0 1 , 1 2 0 ⎭ ⎬ ⎫ . האם T [ U ] ⊆ U ? הוכיחו תשובתכם. ג. (10 נק') האם קיים בסיס סדור E ל- R 3 כך ש- [ T ] E E היא מהצורה ∗ ∗ 0 ∗ ∗ 0 0 0 ∗ ? הוכיחו תשובתכם. (ה-"*" לאו דווקא שוות; בכל המקומות שרשום 0 יש בהכרח 0.) אוניברסיטת בר-אילן מועד ב · 2025 · סמסטר א
מרחב עצמי ערכים עצמיים אורתוגונליות משלים אורתוגונלי תת-מרחב אינווריאנטי מטריצת ייצוג גרעין הוכחה
יהי a ∈ R . נתונות A 1 = ( a a a 0 ) , A 2 = ( 1 0 0 1 ) , A 3 = ( 0 1 1 0 ) , A 4 = ( 0 1 1 1 ) במרחב M 2 × 2 R . נסמן U = span { A 1 , A 2 , A 3 , A 4 } . מצאו בסיס של U ⊥ . האם קיים a כך שמטריצה M = ( tr ( A i ⋅ A j ) ) 1 ≤ i , j ≤ 4 הפיכה? נמקו!
האוניברסיטה הפתוחה 83 · 2025 · סמסטר א
מכפלה פנימית משלים אורתוגונלי בסיס אורתונורמלי עקבה מטריצת ייצוג
תהי A = ( 5 − 2 8 − 3 ) עם צורת ז'ורדן J = ( 1 0 1 1 ) ו- A = P − 1 J P . S ∈ M 2 × 2 ( C ) כך ש- S 2 = A .
האוניברסיטה הפתוחה מבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א
צורת ז'ורדן בלוק ז'ורדן מטריצת ייצוג
תהי T : R 2 → R 2 טרנספורמציה לינארית שמקיימת T ( − 1 , 3 ) = ( 0 , 0 ) ו- T ( 0 , 3 ) = ( 1 , 0 ) . מצאו את המטריצה המייצגת של T ∗ לפי הבסיס הסטנדרטי B = {( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 )} . (הערה: T ∗ מסמן את ההעתקה הצמודה של T .)
האוניברסיטה הפתוחה מועד 92 · 2024 · סמסטר ג
אופרטור צמוד מטריצת ייצוג העתקה לינארית
נגדיר טרנספורמציה לינארית T : R 5 → R 5 על ידי T ( x ) = ( 0 , x 4 + x 3 , 0 , x 3 , x 4 + x 1 ) לכל x = ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ) ב- R 5 . האם קיים בסיס B של R 5 ומספר שלם n > 0 כך ש- [ T n ] B = 0 3 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 ? נמקו! האוניברסיטה הפתוחה מועד 92 · 2024 · סמסטר ג
צורת ז'ורדן נילפוטנטי מטריצת ייצוג
יהיו V , W מרחבי מכפלה פנימית מעל שדה F , ויהיו B , B ′ בסיסים אורתונורמליים סדורים של V ו- W (בהתאמה). תהי T : V → W העתקה לינארית. הוכיחו כי: [ T ∗ ] B B ′ = ( [ T ] B ′ B ) ∗
אוניברסיטת בר-אילן מועד ג · 2024 · סמסטר ב
אופרטור צמוד מטריצת ייצוג מכפלה פנימית בסיס אורתונורמלי הוכחה
נתונה המטריצה A = 5 0 − 4 − 2 1 2 2 0 − 1 . א. מצאו מטריצה אלכסונית D ומטריצה הפיכה P כך שמתקיים P − 1 A P = D . ב. נתונה המטריצה B = − 7 − 3 9 0 − 1 0 − 6 − 3 8 . מצאו מטריצה הפיכה Q כך ש- Q − 1 A Q = D (כאשר D היא הצורה האלכסונית של A מהסעיף הקודם) וגם Q − 1 B Q אלכסונית. אוניברסיטת תל אביב מועד א · 2024 · סמסטר ב
לכסון ערכים עצמיים וקטורים עצמיים מטריצת ייצוג
נתבונן ב- R 3 עם המכפלה הפנימית הבאה: ⟨ x 1 y 1 z 1 , x 2 y 2 z 2 ⟩ := 4 1 x 1 x 2 + 4 1 y 1 y 2 + z 1 z 2 ונגדיר T : R 3 → R 3 על ידי T x y z := 3 x + y x + 3 y 4 z א. (10 נק) האם T צל"ע? (ביחס למ"פ הנתונה). ב. (8 נק) מצאו את צורת הז'ורדן של T . ג. (9 נק) מצאו את הוקטורים העצמיים של T ביחס לכל אחד מהע"ע. אוניברסיטת בר-אילן מועד ב · 2024 · סמסטר א
אופרטור הרמיטי אופרטורים מכפלה פנימית ערכים עצמיים וקטורים עצמיים מרחב עצמי צורת ז'ורדן לכסון מטריצת ייצוג