ערכים עצמיים מכפלה פנימית אופרטורים צורת ז'ורדן צורה ביליניארית פירוק SVD מטריצת ייצוג העתקה לינארית מרחב וקטורי בסיס מימד הוכחה הוכח או הפרך דוגמה נגדית
תתי-נושאים של אופרטורים
אופרטור צמוד אופרטור נורמלי אופרטור הרמיטי אופרטור אוניטרי אופרטור חיובי משפט הספקטרלי מטריצה סימטרית מטריצה הרמיטית מטריצה נורמלית
נתבוננ ב- R 3 עם המ"פ הבאה: ⟨ x 1 y 1 z 1 , x 2 y 2 z 2 ⟩ := 4 1 x 1 x 2 + 4 1 y 1 y 2 + z 1 z 2 ונגדיר T : R 3 → R 3 על ידי T x y z := 3 x + y x + 3 y 4 z א. (9 נקודות) האם T צל"ע? הוכיחו תשובתכם (כתמיד — תשובה סופית נכונה ללא נימוק נכון לא מזכה בניקוד). ב. (8 נקודות) מצאו את צורת הז'ורדן של T . אוניברסיטת בר-אילן מועד ג · 2025 · סמסטר ב
אופרטור הרמיטי אופרטור צמוד מכפלה פנימית צורת ז'ורדן ערכים עצמיים משפט הספקטרלי לכסון
תהי B ∈ R n × n סימטרית שכל הע"ע שלה ממשיים אי-שליליים. הוכיחו כי קיימת מטריצה C סימטרית כך ש- B = C 2 .
אוניברסיטת בר-אילן מועד א · 2025 · סמסטר א
מטריצה סימטרית ערכים עצמיים לכסון אורתוגונלי משפט הספקטרלי אופרטור חיובי הוכחה
תהי A ∈ F n × n . אזי ( A אוניטרית ) אמ"מ ( A נורמלית וגם לכל ע"ע שלה λ מתקיים ∣ λ ∣ = 1 ) . הוכיחו/הפריכו.
אוניברסיטת בר-אילן מועד א · 2025 · סמסטר א
אופרטור אוניטרי אופרטור נורמלי ערכים עצמיים משפט הספקטרלי הוכחה
יהי V מרחב מכפלה פנימית נ"ס מעל C (נסמן את המ"פ ב- ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ), ותהי T : V → V העתקה לינארית צמודה לעצמה (צל"ע) כך שכל ערכיה העצמיים חיוביים ממש (גדולים מ-0). בשאלה זו ניתן להסתמך על סעיפים קודמים גם אם לא פתרתם אותם. א. (10 נק') הוכיחו כי קיימת הע"ל R : V → V צל"ע כך ש- T = R R ∗ . ב. (10 נק') עבור T הנ"ל, נגדיר מכפלה פנימית חדשה: לכל v , u ∈ V : ⟨ v , u ⟩ ′ := ⟨ T v , u ⟩ הוכיחו כי זוהי מכפלה פנימית על V . ג. (12 נק') תהי T כנ"ל ותהי S : V → V צל"ע. הוכיחו כי S T לכסינה.
אוניברסיטת בר-אילן מועד ג · 2025 · סמסטר א
אופרטור הרמיטי אופרטור חיובי מכפלה פנימית לכסון אורתוגונלי משפט הספקטרלי הוכחה
הוכיחו או הפריכו (6 נקודות לסעיף): יהי V מרחב מכפלה פנימית ממימד סופי מעל R , ויהי T : V → V אופרטור אנטי-צמוד לעצמו , כלומר T = − T ∗ . i. T לכסין. ii. T 2 לכסין.
אוניברסיטת בר-אילן מועד ג · 2024 · סמסטר ב
אופרטור צמוד לכסון משפט הספקטרלי הוכח או הפרך דוגמה נגדית
יהי V ממ"פ (ממשי או מרוכב) ותהי T : V → V העתקה צמודה לעצמה. ידוע כי כל ע"ע של T הוא 0 או 1 . הוכיחו כי T היא הטלה א"ג, כלומר T = P U עבור תמ"ו U ⊆ V כלשהו.
אוניברסיטת תל אביב מועד ב · 2024 · סמסטר ב
אופרטור הרמיטי הטלה אורתוגונלית משפט הספקטרלי הוכחה
הוכיחו או הפריכו: יהי V מ"מ פנימי ממימד n , ויהי B בסיס סדור של V . אזי G B (מטריצת גראם לפי B ) היא לכסינה.
אוניברסיטת בר-אילן מועד א · 2024 · סמסטר א
מכפלה פנימית לכסון אופרטור הרמיטי משפט הספקטרלי הוכח או הפרך
יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל C , ויהי T : V → V אופרטור לינארי נורמלי המקיים T 6 = T 7 . הוכיחו כי T צל"ע.
אוניברסיטת בר-אילן מועד ג · 2024 · סמסטר א
אופרטור נורמלי אופרטור הרמיטי ערכים עצמיים משפט הספקטרלי הוכחה
יהי V מרחב מכפלה פנימית נ"ס מעל C (נסמן את המ"פ ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ), ותהי T : V → V הע"ל צל"ע כך שכל הע"ע שלה חיוביים (גדולים ממש מ- 0 ). א. (12 נק) הוכיחו כי קיימת הע"ל R : V → V צל"ע כך ש- T = R R ∗ . (רק בסעיף זה: מי שאיננו מצליח, הוכחה עבור מטריצות תזכה גם היא בכמה נקודות) ב. (10 נק) עבור T הנ"ל נתבונן במ"פ הנתונה ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ונגדיר את המכפלה הבאה: לכל v , u ∈ C n : ⟨ v , u ⟩ ′ := ⟨ T v , u ⟩ הוכיחו כי זוהי מ"פ על V . ג. (12 נק) תהי T כנ"ל ותהי S : V → V צל"ע. הוכיחו כי S T לכסינה.
אוניברסיטת בר-אילן מועד ב · 2024 · סמסטר א
אופרטור הרמיטי אופרטור חיובי מכפלה פנימית לכסון הוכחה משפט הספקטרלי אופרטורים אופרטור צמוד
תהי M ∈ R n × n מטריצה סימטרית שכל הערכים העצמיים שלה חיוביים (גדולים ממש מ- 0 ). א. (10 נק) הוכיחו כי קיימת מטריצה R הפיכה כך ש- R R t = M . ב. (10 נק) תהי M כנ"ל ותהי A ∈ R n × n סימטרית. הוכיחו כי קיימת מטריצה הפיכה C ∈ R n × n כך ש: C t M C = I וגם C t A C היא אלכסונית ג. הגדרה. תהי M כנ"ל ותהי A ∈ R n × n . נאמר כי λ ∈ C הוא M -ע"ע אם קיים 0 = v ∈ C n כך ש- A v = λ M v . וקטור v כזה יקרא M -ו"ע של A המתאים ל- λ . תהי M כנ"ל ותהי A ∈ R n × n סימטרית . ג.י. (10 נק) הוכיחו שכל ה- M -ע"ע של A הם ממשיים. ג.יי. (7 נק) הוכיחו שקיים בסיס של R n המורכב מ- M -ו"ע של A .
אוניברסיטת בר-אילן מועד א · 2024 · סמסטר א
מטריצה סימטרית ערכים עצמיים וקטורים עצמיים מטריצה אורתוגונלית לכסון אורתוגונלי משפט הספקטרלי הוכחה