(בונוס) מצאו פירוק SVD של המטריצה A = 2 0 0 0 1 2 . אוניברסיטת בר-אילן מועד א · 2025 · סמסטר ב
פירוק SVD פירוק ערכים סינגולריים ערכים עצמיים מטריצה אורתוגונלית
בונוס בנושא SVD: (5 נקודות) מצאו פירוק SVD של המטריצה A = 2 0 0 0 1 2 שאלה זו תבדק רק במידה ועברתם את הבחינה גם בלעדיה. אוניברסיטת בר-אילן מועד ב · 2025 · סמסטר ב
פירוק SVD פירוק ערכים סינגולריים מטריצה אורתוגונלית
מצאו פירוק S V D של המטריצה A = 2 1 1 1 2 1 אוניברסיטת בר-אילן מועד א · 2025 · סמסטר א
פירוק SVD פירוק ערכים סינגולריים ערכים עצמיים מטריצה אורתוגונלית
מצאו פירוק S V D של המטריצה: A = 2 1 1 1 2 1 אוניברסיטת בר-אילן מועד ג · 2025 · סמסטר א
פירוק SVD פירוק ערכים סינגולריים מטריצה אורתוגונלית
תהי A ∈ C n × n הפיכה. א. (12 נק') הוכיחו כי כל הערכים העצמיים של A ∗ A הם ממשיים חיוביים (כלומר > 0 ). ב. (10 נק') נניח ש- A A ∗ אלכסונית. הוכיחו כי קיימות מטריצה P ∈ C n × n צל"ע ומטריצה U ∈ C n × n אוניטרית כך ש- A = U P . ג. (10 נק') הוכיחו כי קיימות מטריצה P ∈ C n × n צל"ע ומטריצה U ∈ C n × n אוניטרית כך ש- A = U P (כלומר, אכן זו אותה השאלה כמו סעיף קודם — רק כעת אין את ההנחה ש- A A ∗ אלכסונית).
אוניברסיטת בר-אילן מועד ג · 2024 · סמסטר א
אופרטור חיובי אופרטור אוניטרי אופרטור הרמיטי מטריצה אוניטרית פירוק SVD משפט הספקטרלי ערכים עצמיים הוכחה
סעיף א' (10 נק') יהי F שדה, יהי v ∈ F n וקטור עמודה ותהיינה X , Y ∈ M n ( F ) מטריצות. נניח ש־ v ו''ע של X שמתאים לע''ע λ ∈ F , ובנוסף v הוא גם ו''ע של Y שמתאים לע''ע μ ∈ F עם μ = 0 . הוכיחו ש־ λ ± μ הם שני ע''ע של מטריצת הבלוקים B = ( X Y Y X ) ∈ M 2 n ( F ) . 1 עבור μ = 0 מקבלים ש־ λ הוא ע''ע של B מריבוי 2 . סעיף ב' (10 נק') מצאו מטריצה אורתוגונלית P ∈ M 4 ( R ) המלכסנת את B (כלומר P t B P = D אלכסונית), כאשר B = 9 4 8 4 4 9 4 8 8 4 9 4 4 8 4 9 רמז: חישבו על B כעל מטריצת בלוקים. סעיף ג' (10 נק') מצאו מטריצה C ∈ M 4 ( R ) חיובית (positive definite) המקיימת C 2 = B . סעיף ד' (10 נק') מצאו את הפירוק הפולארי של המטריצה A = 10 1 15 − 5 − 17 − 19 19 17 5 − 15 23 − 11 − 9 − 13 13 9 11 − 23 כלומר זוג מטריצות U ∈ M 4 ( R ) , R ∈ M 4 ( R ) כך ש־ U אורתוגונלית, R חיובית ומתקיים A = U R . אוניברסיטת תל אביב מועד א · 2022 · סמסטר ב
לכסון אורתוגונלי מטריצה סימטרית ערכים עצמיים וקטורים עצמיים פירוק SVD אופרטור חיובי משפט הספקטרלי הוכחה מטריצה אורתוגונלית
תהי T : C 2 → C 2 טרנספורמציה לינארית. הוכיחו שקיימים מספרים ממשיים או-שליליים a 1 , a 2 כך שהפולינום האופייני של T ∗ T הוא ( x − a 1 ) ( x − a 2 ) . נסמן M = max { a 1 , a 2 } . האם לכל וקטור v ∈ C 2 מתקיים ∥ T ( v ) ∥ ≤ M ∥ v ∥ ? נמקו! האוניברסיטה הפתוחה 84 · 2022 · סמסטר ב
אופרטור צמוד אופרטור חיובי ערכים עצמיים מכפלה פנימית פירוק SVD הוכחה
סעיף א' (8 נק') A ∈ M n ( C ) נורמלית מתקיים שכל הע''ע של B = A A ∗ = A ∗ A הם ממשיים אי־שליליים. סעיף ב' (8 נק') A ∈ M n ( C ) (לאו דווקא נורמלית) מתקיים שכל הע''ע של B = A A ∗ הם ממשיים אי־שליליים.
אוניברסיטת תל אביב מועד ב · 2021 · סמסטר ב
מטריצה נורמלית מטריצה הרמיטית מטריצה אוניטרית ערכים עצמיים משפט הספקטרלי אופרטור הרמיטי מכפלה פנימית הוכחה פירוק SVD
נתונה המטריצה A = 2 − 1 − 1 − 1 2 − 1 − 1 − 1 2 . יהי V המ"ו מעל R של מטריצות ממשיות מסדר 3 × 3 . תהי T : V → V ההעתקה הלינארית המוגדרת על ידי T ( B ) = A ⋅ B . (א) חשבו את m T ( x ) הפולינום המינימלי של T . (ב) יהי W ⊆ V אוסף המטריצות { B ∣ A B = B A } . הראו כי W הוא תת מרחב T ־אינווריאנטי. (ג) נסמן ב T W את ההעתקה T מצומצמת ל W . (i) חשבו את m T W ( x ) הפולינום המינימלי של T W . (ii) הראו שהפירוק הפרימרי של T W הוא מהצורה W = W 1 ⊕ W 2 וחשבו את המימדים של W i , i = 1 , 2 . (אין צורך לחשב את W i , i = 1 , 2 .) אוניברסיטת תל אביב מועד ב · 2018 · סמסטר ב
פולינום מינימלי פולינום אופייני ערכים עצמיים מרחב עצמי תת-מרחב אינווריאנטי העתקה לינארית מטריצה סימטרית לכסון פירוק SVD ריבוי אלגברי ריבוי גיאומטרי מימד