איך לתרגל שאלות מטריצה סימטרית באלגברה לינארית 2?

באתר prepd תמצאו שאלות מטריצה סימטרית באלגברה לינארית 2 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות מטריצה סימטרית יש באלגברה לינארית 2?

באתר prepd יש עשרות שאלות מטריצה סימטרית באלגברה לינארית 2 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על מטריצה סימטרית לקראת מבחן באלגברה לינארית 2?

מטריצה סימטרית הוא אחד הנושאים המרכזיים באלגברה לינארית 2. תרגול שאלות ממבחנים בנושא מטריצה סימטרית הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אלגברה לינארית 2 - מטריצה סימטרית

טרנספורמציות לינאריות, מרחבי מכפלה פנימית ועוד

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של אופרטורים

רמת קושי:

הגדרה: מטריצה

A \in R^{n \times n}

תיקרא סימטרית חיובית אם

A

סימטרית ובנוסף כל ערך עצמי

λ

של

A

מקיים

λ > 0

.

נתון (ללא הוכחה): לכל מטריצה הפיכה

M \in R^{n \times n}

, המטריצה

M^{t} M

סימטרית חיובית.

א. (10 נק') תהא

B \in R^{n \times n}

מטריצה סימטרית חיובית. הוכיחו שקיימת מטריצה הפיכה

M \in R^{n \times n}

כך ש

M^{t} M = B

.

ב. (6 נק') תהא

B \in R^{n \times n}

מטריצה סימטרית חיובית. הוכיחו שלכל מטריצה הפיכה

P \in R^{n \times n}

מתקיים:

P^{t} B P

סימטרית חיובית.

ג. (5 נק') תהא

A \in R^{n \times n}

מטריצה סימטרית חיובית. הוכיחו שקיימת מטריצה הפיכה

P \in R^{n \times n}

כך ש

P^{t} A P = I

.

ד.i (8 נק') תהי

S \in R^{n \times n}

סימטרית חיובית. הוכיחו

det (I + S) \geq det (I) + det (S)

.

ד.ii (6 נק') תהיינה

A, B \in R^{n \times n}

מטריצות סימטריות חיוביות. הוכיחו

det (A + B) \geq det (A) + det (B)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

מטריצה סימטריתערכים עצמייםלכסון אורתוגונליאופרטור חיובידטרמיננטההוכחה

הוכיחו/הפריכו: תהי

A \in R^{n \times n}

סימטרית, אזי

C (A) = N (A)^{⊥}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2025 · סמסטר א

★★★★★

מטריצה סימטריתמרחב עמודותגרעיןמשלים אורתוגונליהוכחההוכח או הפרך

תהי

A = (x_{1} x_{3} x_{2} x_{4})

מטריצה ממשית

2 \times 2

. נגדיר:

q (A) = det (A^{t} + A), p (A) = det (A - A^{t})

(ב) מצאו מטריצות

B_{1}, B_{2}

כך ש-

q (x) = [x]_{E}^{t} B_{1} [x]_{E}

ו-

p (x) = [x]_{E}^{t} B_{2} [x]_{E}

כאשר

E

הוא הבסיס הסטנדרטי של

R^{4}

ו-

x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

צורה ריבועיתמטריצה סימטריתמטריצת ייצוג

תהי

A = (x_{1} x_{3} x_{2} x_{4})

מטריצה ממשית

2 \times 2

. נגדיר:

q (A) = det (A^{t} + A), p (A) = det (A - A^{t})

(א) חשבו את

q (A)

ו-

p (A)

כפונקציות של

x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

צורה ריבועיתדטרמיננטהמטריצה סימטרית

נתונה

A = 2 - 1 0 - 1 1 - 1 0 - 1 2

. נגדיר פונקציה

f : R^{3} \to R

על ידי

f (x) = ⟨ A x, x ⟩

, לכל וקטור

x = x_{1} x_{2} x_{3} \in R^{3}

.

מצאו את הפולינום האופייני של

A

. האם

f (x) \geq 0

לכל וקטור

x \in R^{3}

? נמקו!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה83 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

פולינום אופייניערכים עצמייםצורה ריבועיתאופרטור חיובימטריצה סימטרית

תהי

A \in M_{3 \times 3} (R)

מטריצה סימטרית. נגדיר צורה ריבועית

q : R^{3} \to R

על ידי

q (x) = x^{t} A x

. נתון כי

q

חיובית (כלומר

q (x) > 0

לכל

x \neq = 0

).
(א) הוכיחו כי

A

חיובית באמצעות המינורים המובילים (קריטריון סילבסטר). נתון

m > 0

; הוכיחו כי

Δ_{1} > 0

Δ_{2} > 0

Δ_{3} > 0

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

צורה ריבועיתאופרטור חיובימטריצה סימטרית

תהי

T : R^{2} \to R^{2}

העתקה לינארית עם

T (x) = A x

כאשר

A = [T]_{E}

. תהי

⟨ \cdot, \cdot ⟩

המכפלה הפנימית הסטנדרטית. הוכיחו כי

⟨ T (x), y ⟩ = ⟨ A x, y ⟩

לכל

x, y \in R^{2}

, ושהתנאי

⟨ T (x), y ⟩ \geq 0

לכל

x, y

שקול לכך ש-

A

חיובית.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

מכפלה פנימיתאופרטור חיובימטריצה סימטרית

תהי

B \in R^{n \times n}

סימטרית שכל הע"ע שלה ממשיים אי-שליליים. הוכיחו כי קיימת מטריצה

C

סימטרית כך ש-

B = C^{2}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר א

★★★★★

מטריצה סימטריתערכים עצמייםלכסון אורתוגונלימשפט הספקטרליאופרטור חיוביהוכחה

נתונות

A

ו-

B

מטריצות חיוביות לחלוטין. האם הסכום

A + t^{2} B

מטריצה הפיכה, לכל

t

ממשי? נמקו!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחה83 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

אופרטור חיוביערכים עצמייםמטריצה סימטרית

תהי

A = (x_{1} x_{3} x_{2} x_{4})

מטריצה ממשית

2 \times 2

. נגדיר:

q (A) = det (A^{t} + A), p (A) = det (A - A^{t})

(ג) עבור

q

ו-

p

מהסעיפים הקודמים: האם

q

או

p

מהוות תבנית ריבועית חיובית? מצאו את הערכים

α

ו-

β

עבורם מתקיים

[α q]_{E} = B_{1}

ו-

[β p]_{E} = B_{2}

(או ערכים מתאימים).

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

צורה ריבועיתמטריצה סימטריתלכסון

שאלות מטריצה סימטרית באלגברה לינארית 2 עם פתרונות

שאלות תרגול באלגברה לינארית 2 בנושא מטריצה סימטרית ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא מטריצה סימטרית.