איך לתרגל שאלות מטריצה אוניטרית באלגברה לינארית 2?

באתר prepd תמצאו שאלות מטריצה אוניטרית באלגברה לינארית 2 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות מטריצה אוניטרית יש באלגברה לינארית 2?

באתר prepd יש עשרות שאלות מטריצה אוניטרית באלגברה לינארית 2 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על מטריצה אוניטרית לקראת מבחן באלגברה לינארית 2?

מטריצה אוניטרית הוא אחד הנושאים המרכזיים באלגברה לינארית 2. תרגול שאלות ממבחנים בנושא מטריצה אוניטרית הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אלגברה לינארית 2 - מטריצה אוניטרית

טרנספורמציות לינאריות, מרחבי מכפלה פנימית ועוד

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של מכפלה פנימית

רמת קושי:

הוכיחו/הפריכו: אם

A \in C^{n \times n}

אוניטרית, אזי

∣ det A ∣ = 1

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטור אוניטרימטריצה אוניטריתדטרמיננטההוכח או הפרךהוכחה

פתרו את הסעיפים הבאים (סעיף ג אינו קשור לסעיפים א + ב):

(א) תהי

A \in M_{n} (R)

. נסמן

R [A] := {f (A) ∣ f \in R [x]}

. הראו כי

dim_{R} R [A] \leq n

.

(ב) תהיינה

A, B \in M_{2} (R)

. הראו כי

M_{2} (R) \neq = {f (A) + g (B) : f, g \in R [x]}

.

(ג) מצאו את כל המטריצות הצמודות לעצמן

H

עבורן

i H + I

אוניטרית.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

קיילי-המילטוןמימדמרחב וקטוריפולינום אופיינימטריצה הרמיטיתמטריצה אוניטריתערכים עצמייםלכסוןאופרטור צמודאופרטור אוניטרי

נתבונן במרחב

V := C^{n \times n}

עם המ"פ הסטנדרטית

⟨ A, C ⟩ = tr (A C^{*})

. תהי

A \in V

הפיכה. נגדיר הע"ל

T : V \to V

על ידי:

\forall B \in V : T (B) = A B A^{- 1}

א. (9 נק') מצאו את

T^{*}

. הוכיחו תשובתכם.

ב. (4 נק') נניח

A

אוניטרית. האם בהכרח גם

T

אוניטרית? הוכיחו תשובתכם.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2025 · סמסטר א

★★★★★

אופרטור צמודאופרטור אוניטרימכפלה פנימיתמרחב מכפלה פנימיתמטריצה אוניטריתהוכחה

תהי

A \in C^{n \times n}

המקיימת

A^{2} = I

. האם בהכרח

A

אוניטרית? הוכיחו או הפריכו.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטור אוניטרימטריצה אוניטריתהוכח או הפרךדוגמה נגדית

הוכיחו או הפריכו את הטענות הבאות (6 נקודות לסעיף):

א. תהי

A \in C^{n \times n}

כך שקיים

k

המקיים ש-

A^{k}

לכסינה. אזי,

A

לכסינה.

ב. תהי

A \in C^{n \times n}

אוניטרית. אזי,

∣ tr A ∣ \leq n

.

ג. יהי

V

מרחב מכפלה פנימית מעל

C

. אזי, הקבוצה

{T : V \to V ∣ T צמודה לעצמה}

מהווה מרחב וקטורי (תת-מרחב של האופרטורים הלינאריים).

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

לכסוןערכים עצמייםמטריצה אוניטריתעקבהאופרטור הרמיטיהוכח או הפרךדוגמה נגדיתנילפוטנטי

תהי

A \in C^{n \times n}

הפיכה.

א. (12 נק') הוכיחו כי כל הערכים העצמיים של

A^{*} A

הם ממשיים חיוביים (כלומר

> 0

).

ב. (10 נק') נניח ש-

A A^{*}

אלכסונית. הוכיחו כי קיימות מטריצה

P \in C^{n \times n}

צל"ע ומטריצה

U \in C^{n \times n}

אוניטרית כך ש-

A = U P

.

ג. (10 נק') הוכיחו כי קיימות מטריצה

P \in C^{n \times n}

צל"ע ומטריצה

U \in C^{n \times n}

אוניטרית כך ש-

A = U P

(כלומר, אכן זו אותה השאלה כמו סעיף קודם — רק כעת אין את ההנחה ש-

A A^{*}

אלכסונית).

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2024 · סמסטר א

★★★★★

אופרטור חיוביאופרטור אוניטריאופרטור הרמיטימטריצה אוניטריתפירוק SVDמשפט הספקטרליערכים עצמייםהוכחה

תהיינה

A, B \in R^{n \times n}

כך ש-

A

הפיכה ומתקיים

∥ A v ∥ = ∥ B v ∥

לכל

v \in R^{n}

.

הוכיחו/הפריכו את הטענות הבאות (8 נקודות לסעיף):

א.

B

הפיכה.

ב.

A, B

אוניטריות.

ג.

A^{- 1} B

אוניטרית.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ג · 2023 · סמסטר ב

★★★★★

מטריצה אוניטריתמטריצה אורתוגונליתמכפלה פנימיתהוכח או הפרךדוגמה נגדית

שאלה 4 (20 נק')

עבור מטריצה אלכסונית

D = diag (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{n})

נגדיר את המטריצה

exp D = diag (e^{β_{1}}, e^{β_{2}}, \dots, e^{β_{n}})

לדוגמה,

exp (0_{n}) = I_{n}

.

נרחיב את ההגדרה של

exp

למטריצות לכסינות באופן הבא: אם

A = P \cdot D \cdot P^{- 1}

עבור מטריצה אלכסונית

D

ומטריצה הפיכה

P

, נגדיר

exp A = P \cdot exp D \cdot P^{- 1}

הערה: ניתן להניח (ואין צורך להוכיח זאת) שההגדרה לעיל טובה, כלומר אינה תלויה בבחירת המטריצות

P, D

.

הערה: הגדרות אלה בדיוק הופיעו במועד א'.

תזכורת: עבור

θ \in R

מתקיים

e^{i θ} = cos θ + i sin θ

.

סעיף א' (10 נק')

תהיינה

A, B \in M_{n} (C)

מטריצות לכסינות המתחלפות (כלומר

A B = B A

). הוכיחו ש־

exp (A + B)

מוגדרת היטב, ושמתקיים

exp (A + B) = exp A \cdot exp B

.

סעיף ב' (10 נק')

תזכורת: מטריצה

A \in M_{n} (C)

נקראת אנטי־הרמיטית אמ"מ

A^{*} = - A

.

הוכיחו או הפריכו: אם

A \in M_{n} (C)

מטריצה אנטי־הרמיטית אז

exp A

מטריצה יוניטרית.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד ב · 2023 · סמסטר ב

★★★★★

לכסוןמטריצה אוניטריתמטריצה הרמיטיתאופרטור אוניטרימשפט הספקטרלימטריצה נורמליתהוכחהערכים עצמייםלכסון אורתוגונלי

סעיף א' (10 נק')

הוכיחו או הפריכו: אם שתי מטריצות ממשיות

A, B \in M_{n} (R)

הן לכסינות אורתוגונלית, אז גם סכומן

A + B

הוא מטריצה לכסינה אורתוגונלית.

סעיף ב' (10 נק')

הוכיחו או הפריכו: אם שתי מטריצות מרוכבות

A, B \in M_{n} (C)

הן לכסינות יוניטרית, אז גם סכומן

A + B

הוא מטריצה לכסינה יוניטרית.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד ב · 2022 · סמסטר ב

★★★★★

לכסון אורתוגונלילכסוןאופרטור נורמליאופרטור אוניטרימטריצה סימטריתמטריצה אוניטריתמטריצה נורמליתמשפט הספקטרליהוכחההוכח או הפרךדוגמה נגדיתמטריצה אורתוגונלית

האם המטריצה הבאה לכסינה אוניטרית?

A = 0 i 0 i 00 00 i

במידה וכן, מצאו

P

אוניטרית ו-

D

אלכסונית כך ש-

D = P^{*} A P

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2022 · סמסטר ב

★★★★★

לכסון אורתוגונלימטריצה אוניטריתמטריצה נורמליתערכים עצמייםוקטורים עצמיים

שאלות מטריצה אוניטרית באלגברה לינארית 2 עם פתרונות

שאלות תרגול באלגברה לינארית 2 בנושא מטריצה אוניטרית ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא מטריצה אוניטרית.