איך לתרגל שאלות אופרטור אוניטרי באלגברה לינארית 2?

באתר prepd תמצאו שאלות אופרטור אוניטרי באלגברה לינארית 2 ממבחנים אמיתיים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי.

כמה שאלות אופרטור אוניטרי יש באלגברה לינארית 2?

באתר prepd יש עשרות שאלות אופרטור אוניטרי באלגברה לינארית 2 ממבחנים, עם פתרונות לבדיקה עצמית. ניתן לסנן לפי רמת קושי, לאתר שאלות חוזרות ולתרגל ממוקד על נושא זה.

מה חשוב לדעת על אופרטור אוניטרי לקראת מבחן באלגברה לינארית 2?

אופרטור אוניטרי הוא אחד הנושאים המרכזיים באלגברה לינארית 2. תרגול שאלות ממבחנים בנושא אופרטור אוניטרי הוא הדרך הכי יעילה להבין את הסגנון והדרישות של המרצים - ניתן למצוא שאלות כאלה ב-prepd, ממוינות לפי רמת קושי ואוניברסיטה.

אלגברה לינארית 2 - אופרטור אוניטרי

טרנספורמציות לינאריות, מרחבי מכפלה פנימית ועוד

סטטיסטיקות מבחנים

תתי-נושאים של אופרטורים

רמת קושי:

הוכיחו/הפריכו: אם

A \in C^{n \times n}

אוניטרית, אזי

∣ det A ∣ = 1

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטור אוניטרימטריצה אוניטריתדטרמיננטההוכח או הפרךהוכחה

פתרו את הסעיפים הבאים (סעיף ג אינו קשור לסעיפים א + ב):

(א) תהי

A \in M_{n} (R)

. נסמן

R [A] := {f (A) ∣ f \in R [x]}

. הראו כי

dim_{R} R [A] \leq n

.

(ב) תהיינה

A, B \in M_{2} (R)

. הראו כי

M_{2} (R) \neq = {f (A) + g (B) : f, g \in R [x]}

.

(ג) מצאו את כל המטריצות הצמודות לעצמן

H

עבורן

i H + I

אוניטרית.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2025 · סמסטר ב

★★★★★

קיילי-המילטוןמימדמרחב וקטוריפולינום אופיינימטריצה הרמיטיתמטריצה אוניטריתערכים עצמייםלכסוןאופרטור צמודאופרטור אוניטרי

נתבונן במרחב

V := C^{n \times n}

עם המ"פ הסטנדרטית

⟨ A, C ⟩ = tr (A C^{*})

. תהי

A \in V

הפיכה. נגדיר הע"ל

T : V \to V

על ידי:

\forall B \in V : T (B) = A B A^{- 1}

א. (9 נק') מצאו את

T^{*}

. הוכיחו תשובתכם.

ב. (4 נק') נניח

A

אוניטרית. האם בהכרח גם

T

אוניטרית? הוכיחו תשובתכם.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד ב · 2025 · סמסטר א

★★★★★

אופרטור צמודאופרטור אוניטרימכפלה פנימיתמרחב מכפלה פנימיתמטריצה אוניטריתהוכחה

תהי

A \in F^{n \times n}

. אזי

(A

אוניטרית

)

אמ"מ

(

לכל ע"ע שלה

λ

מתקיים

∣ λ ∣ = 1)

. הוכיחו/הפריכו.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר א

★★★★★

אופרטור אוניטריערכים עצמייםהוכח או הפרךדוגמה נגדית

יהי

V

מרחב מכפלה פנימית מעל

R

ותהי

T : V \to V

העתקה לינארית המקיימת

T^{*} = - T

. נגדיר

S (x) = x + a T (x)

.
(ג) הוכיחו: לכל

a \in R

קיים

S^{- 1}

. מצאו סקלר

a

כך ש-

S^{*} (x) = x - a T (x)

ו-

S

אוניטרי (דהיינו

S^{*} = S^{- 1}

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמבחן 2025 סמסטר א מועד 86 · 2025 · סמסטר א

★★★★★

אופרטור צמודאופרטור אוניטרימרחב מכפלה פנימית

תהי

A \in F^{n \times n}

. אזי

(A

אוניטרית

)

אמ"מ

(A

נורמלית וגם לכל ע"ע שלה

λ

מתקיים

∣ λ ∣ = 1)

. הוכיחו/הפריכו.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2025 · סמסטר א

★★★★★

אופרטור אוניטריאופרטור נורמליערכים עצמייםמשפט הספקטרליהוכחה

יהיו

w_{1} \in R^{4}, w_{2} \in R^{4}

וקטורים המקיימים:

⟨ w_{1}, w_{2} ⟩ = 0

∥ w_{1} ∥ = ∥ w_{2} ∥ = 1

.

יהי

a \in R

. נגדיר טרנספורמציה לינארית

T : R^{4} \to R^{4}

על ידי

T (v) = v - a ⟨ v, w_{1} ⟩ w_{1} - a ⟨ v, w_{2} ⟩ w_{2}

.

נתון

a = 2

. בדקו האם

T

טרנספורמציה לינארית אוניטרית. נמקו!

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד 92 · 2024 · סמסטר ג

★★★★★

אופרטור אוניטרימכפלה פנימיתאורתוגונליות

תהי

A \in C^{n \times n}

המקיימת

A^{2} = I

. האם בהכרח

A

אוניטרית? הוכיחו או הפריכו.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטור אוניטרימטריצה אוניטריתהוכח או הפרךדוגמה נגדית

יהי

V

ממ"פ (ממשי או מרוכב) ויהי

U \subseteq V

תמ"ו. נתבונן בהטלה האורתוגונלית

P_{U} : V \to V

.

א. הוכיחו כי

P_{U}

צמודה לעצמה, כלומר

P_{U}^{*} = P_{U}

.

ב. הוכיחו או הפריכו: אם

P_{U}

היא ה"ל יוניטרית, אז בהכרח

U = V

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת תל אביבמועד א · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

הטלה אורתוגונליתאופרטור צמודאופרטור אוניטריהוכח או הפרך

נסחו והוכיחו קריטריון אוניטריות.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א · 2024 · סמסטר ב

★★★★★

אופרטוריםאופרטור אוניטרימכפלה פנימיתהוכחה

שאלות אופרטור אוניטרי באלגברה לינארית 2 עם פתרונות

שאלות תרגול באלגברה לינארית 2 בנושא אופרטור אוניטרי ממבחנים של האוניברסיטה הפתוחה, אוניברסיטת בר-אילן, אוניברסיטת תל אביב. השאלות ממוינות לפי רמת קושי, עם פתרונות לבדיקה עצמית - כך שניתן ללמוד מטעויות ולהבין את דרך הפתרון לפני הבחינה. ניתן לאתר שאלות חוזרות ולהריץ מבחני סימולציה ממוקדים בנושא אופרטור אוניטרי.